[통계 스터디] 카이제곱 검정, 제 1종 오류와 2종 오류

카이제곱 검정(교차 분석)

카이제곱 분포에 기초한 통계적 방법이다.

관찰된 빈도가 기대되는 빈도와 의미있게 다른지의 여부를 검정하기 위해 사용되는 검정방법이다.

범주형 자료(명목척도, 서열척도)간의 관계를 알아보고자 할 때 사용된다.

적합도 검정, 독립성 검정, 동질성 검정에 사용된다.

 

교차분석표

두 범주형 변수를 교차해 데이터의 빈도를 표 형태로 나타낸 것이다.

두 변수를 분류한 분할표는 이차원 분할표, 세 변수를 이용한 경우 삼차원 분할표라고 한다.

 

일반적인 분할표 형태

독립변수(x)	종속변수(y)			행합계
열합계

 

예를 들어, 지역별 전자제품 브랜드 선호도를 교차분석표로 작성한다고 가정해보면

	a사	b사	c사	계
한국	30	55	15	100
미국	40	60	20	120
유럽	40	35	15	90
계	110	150	50	300

-> 우리나라와 미국에서는 b사 브랜드 선호도가 높은 반면, 유럽에서는 a사 브랜드의 선호도가 높다고 할 수 있다.

 

 

카이제곱 검정 방법

1. 적합도 검정

하나의 범주형 변수가 특정 분포를 따르는지 검정한다.

실험 데이터를 관측도수, 예측값을 기대도수라고 부른다.

예측 값이 옳은지 관측값과 비교하여 검정하는 것이다.

 

2. 독립성 검정

두 개의 변수에 의해 범주화 되었을 때 이 두 변수들의 관계가 독립적인지 아닌지 확인한다.

관계가 독립적이라면 변수들 사이에 유의한 관계가 없다고 판단한다.

두 범주형 변수 간에 관계가 있는지 없는지를 나타내지만 강도는 알 수 없다.

 

3. 동질성 검정

관측값들이 정해진 범주 내에서 서로 비슷하게 나타나고 있는지를 검정한다.

두 집단의 분포가 동일한 모집단에 추출된 것인지를 검정한다.

검정통계량을 계산할 때는 교차표를 촬용하며 계산 및 검증법은 독립성 검정과 같다.

 

제 1종 오류와 제 2종 오류

	H0 채택 (H1 기각)	H0 기각 (H1 채택)
H0 사실	올바른 결정	제 1종 오류
H0 거짓	제 2종 오류	올바른 결정

 

제 1종 오류 : 귀무가설(H0)이 사실인데 틀렸다고 결정하는 오류

제 2종 오류 : 귀무가설이 사실이 아님에도 불구하고 귀무가설이 옳다고 결정하는 오류

 

*절대적인 건 아니지만 제 1종 오류를 범해선 안된다 (제2종 오류보다 더 조심해야함)

 

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문제1 <적합도 검정>

검정 방법의 순서

1. 관찰빈도(observed), 기대빈도 설정(expected) -> 2. 귀무가설, 대립가설 설정 -> 3. 통계량(카이제곱량), p-value 확인 -> 4. 귀무가설 or 대립가설 결정

 

귀무가설 : 모든 혈액형이 같은 비율이다.

대립가설 : 모든 혈액형의 비율이 같지 않다.

#적합도 검정을 위한 scipy.stats 불러오기
import scipy.stats as stats
import numpy as np

#관찰값
observed = np.array([38, 43, 10, 5]) #[5000, 4000, 3800, 4200, 7000]

# 기대값 - 동일 비율 가정
total = 96
expected = np.array([total/4, total/4, total/4, total/4]) # []

#귀무가설 : 핼액행의 비율이 같다.
#대립가설 : 혈액형의 비율이 같지 않다.

# 카이제곱 검정 수행
chi2, p_value = stats.chisquare(f_obs=observed, f_exp=expected)

# 유의수준 설정
alpha = 0.05

# 결과 출력
print(f"Chi2 값: {chi2}")
print(f"p-값: {p_value}")

if p_value < alpha:
    print("귀무가설 기각. 혈액형이 같은 비율이라고 할 수 없다.")
else:
    print("귀무가설 채택. 혈액형이 같은 비율이라고 할 수 있다.")

 

 

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문제2 <적합도 검정>

귀무가설 : 혈액형이 4:4:1:1 비율로 분포한다.

대립가설 : 혈액형이 4:4:1:1 비율이 아니다.

# 기대값 - 이번엔 4:4:1:1 비율에 따라 계산
expected_ratios = np.array([4, 4, 1, 1])
expected = expected_ratios / expected_ratios.sum() * total

#귀무가설 : 4:4:1:1의 비율로 분포한다.
#대립가설 : 4:4:1:1의 비율이 아니다.

# 카이제곱 검정 수행
chi2, p_value = stats.chisquare(f_obs=observed, f_exp=expected)

# 유의수준 설정
alpha = 0.05

# 결과 출력
print(f"Chi2 값: {chi2}")
print(f"p-값: {p_value}")

if p_value < alpha:
    print("귀무가설을 기각. 혈액형이 4:4:1:1의 비율로 분포한다 할 수 없다.")
else:
    print("귀무가설을 채택. 혈액형이 4:4:1:1의 비율로 분포한다.")

 

 

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문제3 <동질성 검정>

귀무가설 : 새로운 상품의 시장에서의 위치는 도시와 무관하다.

대립가설 : 새로운 상품의 시장에서의 위치는 도시에 따라 차이가 있다.

observed = np.array([[36, 55, 109],  # 도시 1
                     [45, 56, 49],   # 도시 2
                     [54, 78, 168]]) # 도시 3

# 카이제곱 독립성 검정
chi2, p_value, dof, expected = stats.chi2_contingency(observed)
#dof: degree of freedom
#expected: 기대값

# 유의수준 설정
alpha = 0.05

# 결과 출력
print(f"Chi2 값: {chi2}")
print(f"p-값: {p_value}")
print(f"자유도: {dof}")
print("기대값 행렬:")
print(expected)
  
if p_value < alpha:
    print("귀무가설 기각. 새로운 상품의 시장에서의 위치는 도시에 따라 차이가 있다.")
else:
    print("귀무가설 채택.. 새로운 상품의 시장에서의 위치는 도시에 따라 차이가 없다.")

 

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문제4 <독립성 검정>

귀무가설 : 예산 삭감과 특정 단체 가입 여부는 관계가 있다.

대립가설 : 예산 삭감과 특정 단체 가입 여부는 관계가 없다.

<독립성 검정>

observed = np.array([[112, 36, 28],  #특정단체가입
                     [84, 68, 72]])  #특정단체비가입

chi2, p_value, dof, expected = stats.chi2_contingency(observed)

alpha = 0.05

# 결과 출력
print(f"Chi2 값: {chi2}")
print(f"p-값: {p_value}")
print(f"자유도: {dof}")
print("기대값 행렬:")
print(expected)

if p_value < alpha:
    print("귀무가설 기각. 예산 삭감과 특정 단체 가입 여부는 관계가 있다.")
else:
    print("귀무가설 채택.. 예산 삭감과 특정 단체 가입 여부는 관계가 없다.")

 

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문제5

 

 

1. 표본크기를 늘리면 추정이 정확해져서 신뢰구간이 좁아진다.

2. p값이 0.05보다 크면 귀무가설은 채택된다.

3. 제1종오류가 감소되면 배타는 커진다.

4. p값이 단측검정일 때 양측검정보다 작다.

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문제6

#(1)제1종오류 확률
# H0: 모평균은 65이다.
# H1: 모평균은 65보다 작다.

n = 64
mu = 65 #모평균
sigma = 5 #표준편차

#표본평균의 표준오차
se = sigma / (n ** 0.5)

#제1종오류 확률: P(표본평균 <= 64 | H0이 참일 때)
z_score = (64 - mu)/se
type1_prob = stats.norm.cdf(z_score) #cdf: 누적분포확률

print(f"제1종 오류 확률: {type1_prob}") #5.48%

#(2)제2종오류 확률
mu2 = 63.5 #모평균

z_score = (64 - mu2) / se
type2_prob = 1 - stats.norm.cdf(z_score) #cdf: 누적분포확률(Cumulative distribution function)

print(f"제2종 오류 확률: {type2_prob}")

#(3) 유의수준 1%일때, 즉 상위 1%일때의 임계값인 c 찾기
alpha_new = 0.01 #하위가 아닌, 상위분위수! 따라서, ppf함수에 0.99가 들어가야합니다!!
z_alpha = stats.norm.ppf(1-alpha_new) #ppf: Percent Point Function, 누적분포함수의 역함수. 즉, 누적확률이 나오는 우측단측검정의 z값을 먼저 찾기
c = mu2 + z_alpha * se #z값에 대해 임계값 계산해주기

print(f"c 값: {c}")